Теорема Гаусса

Фундаментальная связь между электрическим полем и зарядом, заключённым внутри замкнутой поверхности.

Электрический поток

Электрический поток через поверхность — это мера «количества» силовых линий, пронизывающих эту поверхность. Для элементарной площадки:

d\Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cos\theta \, dA

где $\theta$ — угол между вектором поля и нормалью к поверхности. Полный поток — интеграл по всей замкнутой поверхности.

Формулировка теоремы

📘 Теорема Гаусса

Полный электрический поток через любую замкнутую поверхность равен суммарному заряду внутри этой поверхности, делённому на электрическую постоянную.

\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{внутри}}}{\varepsilon_0}

Почему теорема работает?

Ключевое свойство — закон обратных квадратов. Поле точечного заряда убывает как $1/r^2$ , а площадь сферы растёт как $r^2$ . Эти зависимости точно компенсируются, и поток не зависит от радиуса поверхности.

Если заряд вне поверхности — каждая силовая линия входит и выходит, давая нулевой вклад. Если внутри — все линии выходят наружу, создавая ненулевой поток.

Дифференциальная форма

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем локальную форму — первое уравнение Максвелла:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

где $\rho$ — объёмная плотность заряда. Дивергенция поля пропорциональна плотности заряда в данной точке.

Применение: поле заряженной сферы

Для равномерно заряженной сферы радиуса R с зарядом Q выбираем гауссову поверхность — сферу радиуса r:

E(r) = \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r > R \\ \dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}, & r < R \end{cases}

Снаружи поле такое же, как у точечного заряда. Внутри поле растёт линейно.

Попробуйте сами

Перетаскивайте гауссову поверхность (окружность) и заряды. Наблюдайте, как поток зависит от того, какие заряды попали внутрь поверхности.

💡 Интересный факт

Теорема Гаусса — одно из четырёх уравнений Максвелла, которые полностью описывают классическую электродинамику. Карл Фридрих Гаусс сформулировал её в 1835 году, но опубликована она была лишь после его смерти, в 1867 году.

← Предыдущая

Диполь во внешнем поле

Поляризация вещества