Мультипольное разложение

Любое распределение зарядов на больших расстояниях можно описать суммой простых слагаемых: монополь, диполь, квадруполь...

Идея разложения

Представьте сложную систему зарядов. Вдали от неё детали расположения не важны — поле определяется несколькими интегральными характеристиками. Это аналог разложения в ряд Тейлора, но для электростатического потенциала:

\varphi(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{r} + \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} + \frac{Q_{ij} \hat{r}_i \hat{r}_j}{r^3} + \ldots\right)

Монополь

Первый член — монопольный. Он определяется полным зарядом системы $Q = \sum q_i$ . Потенциал убывает как $1/r$ , поле — как $1/r^2$ .

⚠️ Доминирующий член

Если полный заряд не равен нулю, на больших расстояниях система выглядит как точечный заряд — все остальные члены пренебрежимо малы.

Диполь

Если $Q = 0$ , доминирует дипольный член. Дипольный момент:

\vec{p} = \sum_i q_i \vec{r}_i

Потенциал убывает как $1/r^2$ , поле — как $1/r^3$ . Именно этот член описывает наш электрический диполь.

Квадруполь

Если и $Q = 0$ , и $\vec{p} = 0$ , главным становится квадрупольный член. Квадруполь — это два противоположно направленных диполя:

Q_{ij} = \sum_k q_k (3 r_{k,i} r_{k,j} - r_k^2 \delta_{ij})

Потенциал убывает как $1/r^3$ , поле — как $1/r^4$ . Квадрупольное поле имеет характерную «четырёхлепестковую» структуру.

Иерархия убывания

Мультиполь	Потенциал	Поле	Пример
Монополь	$\sim 1/r$	$\sim 1/r^2$	Ион
Диполь	$\sim 1/r^2$	$\sim 1/r^3$	Молекула воды
Квадруполь	$\sim 1/r^3$	$\sim 1/r^4$	Молекула CO₂

Попробуйте сами

Сравните поля монополя, диполя и квадруполя. Переключайтесь между типами и наблюдайте, как различается структура и скорость убывания поля.

💡 Интересный факт

Гравитационное поле Земли тоже описывается мультипольным разложением. Монопольный член — это масса Земли. Квадрупольный — сплюснутость на полюсах. Спутники GPS учитывают мультиполи вплоть до 12-го порядка для точной навигации!

← Предыдущая

Энергия электрического поля